최상위 열쇠 — 물체를 물에 담그거나, 그릇을 기울이거나, 비율로 변형하는 문제는 부피는 그대로(보존)라는 원리로 풀어요.
1가로20cm 세로15cm 인 직육면체 그릇에 물이 높이 8cm 만큼 있습니다. 여기에 가로5cm 세로5cm 높이10cm 인 직육면체 돌을 완전히 잠기게 넣으면 물 높이는 얼마가 될까요?
정답·해설
돌의 부피만큼 물 높이가 올라가요.
돌 부피 = 5×5×10 = 250
그릇 바닥넓이 = 20×15 = 300
올라가는 높이 = 250÷300 = 5/6
새 높이 = 8 + 5/6 = 8 5/6
그릇 바닥넓이 = 20×15 = 300
올라가는 높이 = 250÷300 = 5/6
= 8.833...
답 8 5/6 cm (약 8.83cm)2정육면체 물통(한 모서리 10cm, 부피1000cm³)에 물이 가득 있습니다. 이 물을 가로20cm 세로10cm 인 직육면체 그릇에 옮겨 담으면 물의 높이는 얼마가 될까요?
정답·해설
물의 부피는 그대로 1000cm³
1000 ÷ (20×10) = 1000÷200 = 5
답 5cm3직육면체의 가로·세로·높이를 각각 2배로 늘리면 부피는 몇 배가 될까요?
정답·해설
2 × 2 × 2 = 8
답 8배
⚠️ "세 방향 다 2배니까 2배"가 아니라, 세 번 곱해지므로 2³=8배예요 ✓
4정육면체의 한 모서리를 3배로 늘리면 겉넓이는 몇 배, 부피는 몇 배가 될까요?
정답·해설
겉넓이(면적)는 제곱으로, 부피는 세제곱으로 늘어요.
겉넓이: 3×3 = 9배
부피: 3×3×3 = 27배
답 겉넓이 9배 · 부피 27배부피: 3×3×3 = 27배
5직육면체 물탱크(가로4m 세로3m 높이2m)에 매분 0.5m³ 씩 물을 채웁니다. 가득 채우는 데 몇 분 걸릴까요?
정답·해설
부피 = 4×3×2 = 24
시간 = 24÷0.5 = 48
답 48분시간 = 24÷0.5 = 48
6부피가 같은 두 직육면체 A(가로4 세로5 높이x), B(가로2 세로10 높이6) 가 있습니다. x를 구하세요.
정답·해설
B의 부피 = 2×10×6 = 120
4×5×x = 120
20x = 120
x = 6
답 620x = 120
x = 6
7가로10cm 세로8cm 인 직육면체 그릇에 물이 6cm 높이만큼 있습니다. 이 그릇을 기울이지 않고 물을 절반만 남기고 따라내면, 남은 물의 높이는 얼마일까요?
정답·해설
바닥 넓이가 일정한 그릇이니, 물을 절반 따라내면 높이도 절반이 돼요.
6 ÷ 2 = 3
답 3cm8겉넓이가 216cm² 인 정육면체의 부피를 구하세요.
정답·해설
한 면 = 216÷6 = 36. 한 모서리 = 6(6×6=36)
6×6×6 = 216
답 216cm³
🔑 이 정육면체는 겉넓이 숫자와 부피 숫자가 우연히 같아요(216) — 늘 그런 건 아니에요! ✓
9직육면체 벽돌 8개(각 부피 500cm³)를 빈틈없이 쌓아 큰 정육면체를 만들었습니다. 벽돌 하나가 정육면체 모양(한 모서리 x)이라면, 큰 정육면체의 한 모서리는 벽돌의 몇 배일까요?
정답·해설
8개로 정육면체를 채우려면 2×2×2 배열이어야 해요(2³=8).
답 2배
답 2배
🔑 부피가 8배가 되려면 한 모서리는 세제곱근인 2배가 돼요(2³=8) ✓
10직육면체(가로12 세로8 높이6, 겉넓이432cm²)의 맨 꼭짓점 한 곳에서 정육면체(한 모서리 4)를 잘라냈습니다(세 면을 각각 파고 들어가는 모양). 남은 입체의 부피와 겉넓이를 각각 구하세요.
정답·해설
부피는 그냥 빼면 됩니다.
원래 부피 = 12×8×6 = 576
잘라낸 부피 = 4×4×4 = 64
남은 부피 = 576 − 64 = 512
겉넓이는 사라지는 면과 새로 드러나는 면을 따로 셉니다. 꼭짓점에서 파내면, 그 꼭짓점에 닿아있던 원래 면 3개가 각각 4×4=16cm² 씩 없어지고, 파낸 자리 안쪽으로 새로운 면 3개가 똑같이 4×4=16cm² 씩 드러나요.
잘라낸 부피 = 4×4×4 = 64
남은 부피 = 576 − 64 = 512
사라진 면 합 = 16×3 = 48
새로 드러난 면 합 = 16×3 = 48
겉넓이 = 432 − 48 + 48 = 432
답 부피 512cm³ · 겉넓이 432cm² (변화 없음!)
새로 드러난 면 합 = 16×3 = 48
겉넓이 = 432 − 48 + 48 = 432
🔑 꼭짓점에서 정육면체를 파내면, 사라지는 면적과 새로 생기는 면적이 똑같아서 겉넓이는 전혀 변하지 않아요 — 신기하죠? ✓
「만지는 수학」 · ⑤ 굳히기(최상위) · 초6 직육면체의 부피와 겉넓이 · 손검산 완료