🖐 만지는 수학
케이크 조각의 조각을 먹으면, 대체 몇 조각일까?
"케이크의 3분의 2를 남겼는데, 거기서 내가 다시 4분의 3만큼 먹으면" — 조각의 조각은 대체 얼마만큼일까요? 정답은 언제나 분자는 분자끼리, 분모는 분모끼리. 세 가지 실제 상황을 손끝으로 직접 채워보며 확인해봐요.
🍰 분수끼리 곱하는 건 사실 "부분의 부분"을 구하는 일이에요. 방법은 딱 두 가지만 기억하면 돼요. ① (분수)×(자연수)는 분자에만 자연수를 곱한다 · ② (분수)×(분수)는 분자는 분자끼리, 분모는 분모끼리 곱한 뒤 약분한다(대분수는 먼저 가분수로 바꾸고 계산). 아래 세 장면에서 직접 손끝으로 눌러보며 "부분의 부분"이 어떻게 만들어지는지 확인해보세요.
접시 위에 놓인 케이크 한 조각, 단면에 층이 보인다사진: Mrnotwo, Public domain · 위키미디어 공용
FIRST STORY
🍰 케이크를 나눴는데, 거기서 또 나누면?
사진처럼 케이크 한 판을 여러 조각으로 나눠 먹을 때가 있죠. 오늘은 우리가 직접 정확한 분수로 나눠볼 거예요. 케이크 한 판을 가로로 3등분해서 그중 2/3만 접시에 덜어놨어요. 그런데 그 2/3짜리 조각을 다시 세로로 4등분해서 3/4만큼만 먹으려고 해요. "2/3의 3/4"는 전체 케이크의 얼마만큼일까요? 아래 버튼을 눌러 가로 칸 수(3등분 중 몇 칸)와 세로 칸 수(4등분 중 몇 칸)를 직접 채워보세요 — 두 색이 겹치는 초록 칸이 바로 그 답이에요.
가로(3등분 중)2
세로(4등분 중)3
2/3 × 3/4내가 만든 분수식
6/12겹친 칸 / 전체 칸
1/2약분한 결과
🖐 느껴보기: 가로 2칸 × 세로 3칸이 겹치는 칸은 정확히 6칸이에요. 전체 12칸 중 6칸이니 1/2 — 케이크 전체의 절반을 먹은 셈이죠!
펼쳐진 리본 한 도막사진: Auckland Museum Collections, CC BY 2.0 · 위키미디어 공용
SECOND STORY
🎀 리본 한 도막은 2/5m — 몇 도막이 필요할까?
선물 포장을 하는데, 리본 한 도막의 길이가 2/5m예요. 그런데 상자가 여러 개라서 이런 도막이 여러 개 필요해요. 도막 개수(자연수)를 정하면 총 길이는 2/5 × (도막 개수)로 구해요 — 분수에 자연수를 곱할 땐 분자에만 그 수를 곱하면 돼요. 아래 ➕/➖ 버튼으로 도막 개수를 1개씩 늘려보며, 리본이 얼마나 길어지는지 직접 확인해보세요.
리본 도막 개수3
2/5 × 3내가 만든 곱셈식
6/5 m가분수로
1과 1/5 m대분수로(더 알아보기 쉽게)
🖐 느껴보기: 도막을 하나씩 늘릴 때마다 리본이 2/5m씩 길어져요. 분자 2에만 도막 개수를 곱하면 총 길이가 바로 나와요.
설탕이 담긴 그릇에 스푼으로 설탕을 덜어 담는 손사진: Shixart1985, CC BY 2.0 · 위키미디어 공용
THIRD STORY
🍪 레시피 재료의 2/3만 만들면?
쿠키 레시피에 설탕이 3/4컵 필요하다고 적혀 있어요. 그런데 오늘은 손님이 적어서 레시피의 2/3만 만들려고 해요. 그러면 설탕은 얼마나 필요할까요? "3/4컵의 2/3"도 똑같은 방법으로 풀 수 있어요 — 아래 버튼으로 가로(원래 4등분 중 몇 칸)와 세로(레시피 3등분 중 몇 칸)를 맞춰보세요.
가로(설탕 4등분 중)3
세로(레시피 3등분 중)2
3/4 × 2/3내가 만든 분수식
6/12겹친 칸 / 전체 칸
1/2컵약분한 결과
🖐 느껴보기: 3/4컵의 2/3은 정확히 1/2컵이에요. 원래보다 적은 양이 필요하다는 게, 겹친 칸 개수로 눈에 보이죠?
✨ 사실 이 셋, 다 같은 규칙으로 풀었어요
🍰 케이크 조각의 조각 (2/3 × 3/4)= 1/2
🎀 리본 도막 (2/5 × 3)= 6/5 = 1과 1/5 m
🍪 레시피 줄이기 (3/4 × 2/3)= 1/2컵
공통 규칙 분자는 분자끼리, 분모는 분모끼리
진분수(1보다 작은 분수)끼리 곱하면 결과는 항상 원래보다 작아져요 — 케이크도, 레시피도 "부분의 부분"이라 원래 양보다 줄어든 거예요. 반대로 분수에 자연수를 곱할 땐(리본처럼) 그 수만큼 늘어날 수 있어요. 겉모습은 달라도 계산 규칙은 언제나 똑같았죠.
① 대분수는 가분수로② 분자는 분자끼리③ 분모는 분모끼리④ 약분해서 정리
📜 잠깐, 역사 한 조각
분수를 "부분의 부분"으로 그림처럼 나눠서 계산하는 방법은 아주 오래됐어요. 고대 이집트 사람들은 단위분수(분자가 1인 분수, 예: 1/2, 1/3)만 써서 모든 분수를 표현했다고 알려져 있어요. "케이크를 나누고 또 나눈다"는 생각은, 수천 년 전 사람들이 빵과 곡식을 공평하게 나눌 때부터 이미 쓰이던 방법이었던 셈이에요.
📘 직관수학 교재 — 개념과 문제 풀어보기 →
「아하! 보이는 직관수학」 · 만지는 수학 · 초5 분수의 곱셈
✍️ 이제 문제로 굳히기 — 각 10문항
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