📘 직관수학 교재로 개념 먼저 보기 · 개념이 헷갈리면 먼저 → 🖐 만지는 수학 칼럼 으로 감을 잡고 오세요. 핵심 열쇠: y = a(x − p)² + q 이면 꼭짓점은 (p, q), 축은 x = p. 그리고 a > 0 이면 아래로 볼록(최솟값), a < 0 이면 위로 볼록(최댓값).
1다음 중 이차함수인 것을 모두 고르시오. ㄱ. y = 2x² ㄴ. y = 3x − 1 ㄷ. y = x² − x ㄹ. y = 1/x
정답·해설
이차함수는 x²이 살아 있고(계수 ≠ 0), 그보다 높은 차수가 없는 식이에요. ㄴ은 x의 일차식, ㄹ은 분모에 x가 있어 이차함수가 아닙니다. → ㄱ, ㄷ
2이차함수 y = 3x² 의 꼭짓점의 좌표를 구하시오.
정답·해설
y = 3x² 은 원점을 지나며 위로 뻗는 가장 기본형이라 꼭짓점이 원점입니다. → (0, 0)
3이차함수 y = 2(x − 1)² + 3 의 꼭짓점의 좌표를 구하시오.
정답·해설
y = a(x − p)² + q 꼴이니 꼭짓점은 (p, q). 여기서 p = 1, q = 3 → (1, 3)
4이차함수 y = (x + 2)² − 5 의 축의 방정식을 구하시오.
정답·해설
(x + 2) = (x − (−2)) 이므로 p = −2. 축은 x = p → x = −2
부호 주의: (x + 2)의 축은 x = +2 가 아니라 x = −2 ✓
5이차함수 y = x² − 4x + 1 을 y = (x − p)² + q 꼴로 고치시오.
정답·해설
x의 계수 −4의 절반은 −2. 완전제곱을 만들면 x² − 4x = (x − 2)² − 4. 여기에 +1을 더하면 → (x − 2)² − 3
되돌려 검산: (x−2)² − 3 = x² − 4x + 4 − 3 = x² − 4x + 1 ✓
6이차함수 y = x² − 4x + 1 의 최솟값을 구하시오.
정답·해설
5번에서 (x − 2)² − 3 으로 고쳤죠. (x − 2)²은 아무리 작아도 0이라, 가장 작을 때(x = 2) y = −3. a = 1 > 0 이라 아래로 볼록 → 최솟값이 있습니다. → −3
7이차함수 y = −2x² + 4 의 최댓값을 구하시오.
정답·해설
−2x²은 아무리 커도 0이 최대(x = 0). 그때 y = 0 + 4 = 4. a = −2 < 0 이라 위로 볼록 → 최댓값이 있습니다. → 4
8이차함수 y = (x − 3)² 의 그래프는 y = x² 의 그래프를 x축 방향으로 얼마만큼 평행이동한 것인가?
정답·해설
(x − 3)은 x 자리에 (x − 3)을 넣은 것 = 그래프를 오른쪽으로 옮긴 것. → +3 (오른쪽으로 3)
확인: y = x²의 꼭짓점 (0,0) → y = (x−3)²의 꼭짓점 (3,0), 오른쪽으로 3 이동 ✓
9이차함수 y = x² + 6x + 5 의 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표를 모두 구하시오.
정답·해설
x축과 만나면 y = 0. x² + 6x + 5 = 0 → (x + 1)(x + 5) = 0 → x = −1, x = −5
검산: (−1)² + 6(−1) + 5 = 1 − 6 + 5 = 0 ✓ / (−5)² + 6(−5) + 5 = 25 − 30 + 5 = 0 ✓
10이차함수 y = x² − 2x − 3 의 y절편(그래프가 y축과 만나는 점의 y좌표)을 구하시오.
정답·해설
y축 위에서는 x = 0. 넣으면 y = 0 − 0 − 3 = −3. y절편은 언제나 상수항과 같아요. → −3
「만지는 수학」 · ⑤ 굳히기(기초) · 중3 이차함수 · 손검산·이중검수 완료