농구공을 던지면 어떤 모양을 그리나요? 쭉 올라갔다가 가장 높은 곳을 찍고 다시 내려오죠. 🏀
분수대의 물줄기도, 축구공도, 로켓도 모두 같은 곡선을 그려요. 이 곡선을 포물선이라 하고,
이걸 식으로 쓴 게 바로 이차함수예요. 세상에서 가장 흔한 곡선이죠.
앞 단원 이차방정식은 "= 0 이 되는 x 는?" 하고 딱 한 순간만 물었어요.
이차함수는 훨씬 욕심이 커요 — "x 가 변할 때 y 가 어떻게 움직이나"를 전부 한 장의 그림으로 보여줘요.
그래서 이차방정식의 근(= 0 되는 자리)은, 이차함수에선 그래프가 x축과 만나는 점으로 눈에 보여요. 👀
오늘의 목표는 딱 하나예요 — 식만 보고 그래프 모양이 머릿속에 그려지게 만들기.
1 이차함수란 — y = ax² + bx + c
y 가 x 에 대한 이차식으로 나타나는 함수를 이차함수라 해요.
y = ax² + bx + c (단, a ≠ 0) 꼴이면 이차함수예요.
a = 0 이면 x² 이 사라져 y = bx + c (일차함수)가 되니, a ≠ 0 은 반드시 붙는 조건이에요.
y = ax² + bx + c (a ≠ 0)
y = ax² + bx + c (단, a ≠ 0) 꼴이면 이차함수예요.
a = 0 이면 x² 이 사라져 y = bx + c (일차함수)가 되니, a ≠ 0 은 반드시 붙는 조건이에요.
💡 판별 연습: y = 2x² ✓ / y = x² − x ✓ / y = 3x − 1 ✗(일차) / y = 1/x ✗(분모에 x) / y = x³ ✗(삼차)
2 가장 기본 y = ax² — a가 정하는 두 가지
모든 이차함수의 뿌리는 y = ax² 이에요. 꼭짓점이 원점 (0,0), 축이 y축인 가장 단순한 포물선.
여기서 a 하나가 두 가지를 정해요:
• 부호 — a > 0 이면 아래로 볼록(웃는 입 모양 ∪, 최솟값 있음) / a < 0 이면 위로 볼록(∩, 최댓값 있음)
• 크기 — |a| 가 클수록 홀쭉(가파름), 작을수록 펑퍼짐
여기서 a 하나가 두 가지를 정해요:
• 부호 — a > 0 이면 아래로 볼록(웃는 입 모양 ∪, 최솟값 있음) / a < 0 이면 위로 볼록(∩, 최댓값 있음)
• 크기 — |a| 가 클수록 홀쭉(가파름), 작을수록 펑퍼짐
💡 외우지 말고 그려보세요. y = x² 에 x = 2 를 넣으면 4, y = 3x² 에 넣으면 12. 같은 x 인데 y 가 3배 높이 솟으니 홀쭉해질 수밖에 없죠.
3 표준형 y = a(x − p)² + q — 꼭짓점이 그냥 보인다
이 꼴이 이 단원의 왕이에요. 왜냐면 꼭짓점이 식에 그대로 적혀 있거든요.
y = ax² 를 오른쪽으로 p, 위로 q 만큼 통째로 옮긴 것이 y = a(x − p)² + q 예요.
그러니 원점에 있던 꼭짓점도 그대로 따라가서 (p, q), 축은 x = p.
y = a(x − p)² + q → 꼭짓점 (p, q), 축 x = p
y = ax² 를 오른쪽으로 p, 위로 q 만큼 통째로 옮긴 것이 y = a(x − p)² + q 예요.
그러니 원점에 있던 꼭짓점도 그대로 따라가서 (p, q), 축은 x = p.
⚠️ 부호 함정 — 가장 많이 틀리는 곳!
• y = (x − 3)² 의 꼭짓점 x좌표는 +3 (오른쪽으로 3)
• y = (x + 2)² 는 (x − (−2))² 이므로 꼭짓점 x좌표는 −2 (왼쪽으로 2). +2 아니에요!
괄호 안 부호와 반대라고 기억하세요. q 는 반대로 그대로예요(+3이면 위로 3).
• y = (x − 3)² 의 꼭짓점 x좌표는 +3 (오른쪽으로 3)
• y = (x + 2)² 는 (x − (−2))² 이므로 꼭짓점 x좌표는 −2 (왼쪽으로 2). +2 아니에요!
괄호 안 부호와 반대라고 기억하세요. q 는 반대로 그대로예요(+3이면 위로 3).
💡 왜 반대일까요? (x − 3)² 이 0이 되려면 x 가 3 이어야 하죠. 즉 "원래 0에서 일어나던 일이 이제 3에서 일어난다" = 오른쪽으로 3 옮겨진 거예요.
4 일반형 → 표준형 — 완전제곱식 만들기
시험엔 보통 y = x² − 4x + 1 같은 일반형으로 나와요. 이대로는 꼭짓점이 안 보이죠.
그래서 표준형으로 고쳐야 해요. 앞 단원(이차방정식)에서 한 완전제곱 만들기 그대로예요.
① x 계수 −4 의 절반 = −2 → ② (x − 2)² 를 만들면 −4 가 남으니 → ③ x² − 4x = (x − 2)² − 4
④ 원래 있던 +1 을 붙이면 → y = (x − 2)² − 3 → 꼭짓점 (2, −3)
축: x = −b / 2a / 꼭짓점 y = 그 x를 대입
그래서 표준형으로 고쳐야 해요. 앞 단원(이차방정식)에서 한 완전제곱 만들기 그대로예요.
① x 계수 −4 의 절반 = −2 → ② (x − 2)² 를 만들면 −4 가 남으니 → ③ x² − 4x = (x − 2)² − 4
④ 원래 있던 +1 을 붙이면 → y = (x − 2)² − 3 → 꼭짓점 (2, −3)
💡 급할 땐 축의 공식 x = −b/2a 로 x좌표만 먼저 구하고, 그 값을 식에 넣어 y 를 구해도 돼요. y = x² − 4x + 1 이면 x = 4/2 = 2, y = 4 − 8 + 1 = −3 → (2, −3) ✓ 같은 답이죠?
5 최댓값·최솟값 — 꼭짓점이 답이다
포물선은 꼭짓점에서 방향을 바꿔요. 그러니 최대·최소는 언제나 꼭짓점에서 일어나요.
• a > 0 (아래로 볼록 ∪): 바닥이 있으니 최솟값 = q, 최댓값은 없음(끝없이 올라감)
• a < 0 (위로 볼록 ∩): 천장이 있으니 최댓값 = q, 최솟값은 없음
• a > 0 (아래로 볼록 ∪): 바닥이 있으니 최솟값 = q, 최댓값은 없음(끝없이 올라감)
• a < 0 (위로 볼록 ∩): 천장이 있으니 최댓값 = q, 최솟값은 없음
y = x² − 4x + 1 = (x − 2)² − 3 이라면? (x−2)² 은 아무리 작아도 0 이니, y 가 가장 작을 때는 x = 2 이고 그때 최솟값 −3.
💡 이게 히어로 그림의 농구공이에요. 던진 공(a < 0, ∩ 모양)은 가장 높은 곳(최댓값)이 있지만 가장 낮은 곳은 없죠 — 땅에 닿기 전까진 계속 내려가니까요.
6 x절편·y절편 — 이차방정식과 만나는 자리
드디어 앞 단원과 손을 잡는 순간이에요.
• y절편: y축 위에선 x = 0 이니 그냥 대입. y = ax² + bx + c 에 x = 0 → c. (상수항이 곧 y절편!)
• x절편: x축 위에선 y = 0 이니 ax² + bx + c = 0 을 풀면 돼요. 이게 바로 이차방정식이죠!
x절편 = 이차방정식 ax² + bx + c = 0 의 근
• y절편: y축 위에선 x = 0 이니 그냥 대입. y = ax² + bx + c 에 x = 0 → c. (상수항이 곧 y절편!)
• x절편: x축 위에선 y = 0 이니 ax² + bx + c = 0 을 풀면 돼요. 이게 바로 이차방정식이죠!
그래서 판별식 D 가 그래프에도 그대로 나타나요:
D > 0 → x축과 두 점에서 만남 / D = 0 → 한 점에서 접함 / D < 0 → 만나지 않음(떠 있음)
D > 0 → x축과 두 점에서 만남 / D = 0 → 한 점에서 접함 / D < 0 → 만나지 않음(떠 있음)
💡 "이차방정식의 근"과 "그래프의 x절편"은 완전히 같은 것이에요. 식으로 푸느냐, 그림으로 보느냐의 차이일 뿐. 이걸 깨달으면 이 단원의 절반은 끝난 거예요.
7 예제로 확인
예제 1 · 표준형으로 고쳐 꼭짓점 찾기
y = x² − 6x + 11 의 꼭짓점을 구하라.
−6 의 절반은 −3 → x² − 6x = (x − 3)² − 9
+11 을 붙이면 y = (x − 3)² − 9 + 11 = (x − 3)² + 2 → 꼭짓점 (3, 2)
−6 의 절반은 −3 → x² − 6x = (x − 3)² − 9
+11 을 붙이면 y = (x − 3)² − 9 + 11 = (x − 3)² + 2 → 꼭짓점 (3, 2)
축 공식 검산: x = −(−6)/2 = 3, y = 9 − 18 + 11 = 2 ✓ / 꼭짓점 y가 2 > 0 이고 아래로 볼록이라 그래프 전체가 x축 위에 떠 있어요(D < 0)
예제 2 · 조건으로 식 세우기
꼭짓점이 (2, −1) 이고 점 (0, 3) 을 지나는 이차함수를 구하라.
꼭짓점을 알면 표준형으로 시작: y = a(x − 2)² − 1
지나는 점 (0, 3) 을 넣어 a 만 찾으면 끝: 3 = a·4 − 1 → 4a = 4 → a = 1
답: y = (x − 2)² − 1 (펼치면 y = x² − 4x + 3)
꼭짓점을 알면 표준형으로 시작: y = a(x − 2)² − 1
지나는 점 (0, 3) 을 넣어 a 만 찾으면 끝: 3 = a·4 − 1 → 4a = 4 → a = 1
답: y = (x − 2)² − 1 (펼치면 y = x² − 4x + 3)
검산: x = 0 → (0−2)² − 1 = 3 ✓ / 꼭짓점 (2, −1) ✓
예제 3 · 그래프와 방정식 잇기
y = x² + 6x + 5 의 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표를 구하라.
x축 위에선 y = 0 → x² + 6x + 5 = 0 (이차방정식!)
더해서 6, 곱해서 5 → 1과 5 → (x + 1)(x + 5) = 0 → x = −1, −5
x축 위에선 y = 0 → x² + 6x + 5 = 0 (이차방정식!)
더해서 6, 곱해서 5 → 1과 5 → (x + 1)(x + 5) = 0 → x = −1, −5
검산: (−1)² + 6(−1) + 5 = 0 ✓ / (−5)² + 6(−5) + 5 = 0 ✓ — 두 점에서 만나니 D > 0 이겠죠? D = 36 − 20 = 16 > 0 ✓
8 한 줄 정리
이차함수 = 포물선. 왕은 표준형 y = a(x − p)² + q — 꼭짓점 (p, q), 축 x = p(괄호 안 부호와 반대!).
a 가 볼록 방향(±)과 폭(|a|)을 정하고, 최대·최소는 언제나 꼭짓점(a>0이면 최솟값 q, a<0이면 최댓값 q).
일반형이 나오면 완전제곱으로 고치거나 축 공식 x = −b/2a.
x절편 = 이차방정식의 근, y절편 = 상수항 c — 앞 단원과 한 몸이에요.
이제 칼럼에서 꼭짓점을 직접 드래그해 느껴보고, 문제로 굳히세요.
a 가 볼록 방향(±)과 폭(|a|)을 정하고, 최대·최소는 언제나 꼭짓점(a>0이면 최솟값 q, a<0이면 최댓값 q).
일반형이 나오면 완전제곱으로 고치거나 축 공식 x = −b/2a.
x절편 = 이차방정식의 근, y절편 = 상수항 c — 앞 단원과 한 몸이에요.
이제 칼럼에서 꼭짓점을 직접 드래그해 느껴보고, 문제로 굳히세요.
✍️ 이제 문제로 굳히기 (각 10문항 · 손검산·이중검수 완료)
「만지는 수학」 · ① 읽고 (직관수학 교재) · 중3 이차함수