최상위 열쇠 — 여기서는 규칙을 찾는 것을 넘어 규칙이 언제 통하는지까지 따집니다.
① 큰 수를 물으면 일일이 세지 말고 식으로 ② 답이 없을 수도 있음 ③ 규칙이 반복(순환)하면 나머지가 열쇠.
① 큰 수를 물으면 일일이 세지 말고 식으로 ② 답이 없을 수도 있음 ③ 규칙이 반복(순환)하면 나머지가 열쇠.
1△ = ○ × 4 + 3 인 규칙이 있습니다. △ 가 세 자리 수 중 가장 작은 값이 되게 하는 ○ 을 구하세요.
정답·해설
세 자리 수는 100 부터예요. △ ≥ 100 이 되는 가장 작은 ○ 을 찾습니다.
○ × 4 + 3 ≥ 100
○ × 4 ≥ 97
○ ≥ 97 ÷ 4 = 24.25
○ 은 자연수니 25 부터. 확인해 봅니다.
○ × 4 ≥ 97
○ ≥ 97 ÷ 4 = 24.25
○ = 24 → 24×4+3 = 99 (두 자리) ✗
○ = 25 → 25×4+3 = 103 (세 자리) ✓
답 ○ = 25 (그때 △ = 103)
○ = 25 → 25×4+3 = 103 (세 자리) ✓
⚠️ 100 이 안 나온다고 당황하지 마세요. △ 는 3, 7, 11, … 처럼 4로 나눈 나머지가 3 인 수만 나와요 ✓
2구슬을 ●○○●○○●○○ … 순서로 반복해서 늘어놓습니다. 50번째 구슬은 무슨 색일까요? 그리고 50번째까지 검은 구슬(●)은 몇 개일까요?
정답·해설
●○○ 세 개가 한 묶음으로 반복돼요.
검은 구슬: 16묶음에 각 1개 = 16개. 남은 2개(●○)에 1개 더 → 17개
50 ÷ 3 = 16 … 나머지 2
16묶음이 다 지나가고 2개가 더 있는 자리예요. 묶음의 2번째는 ○.검은 구슬: 16묶음에 각 1개 = 16개. 남은 2개(●○)에 1개 더 → 17개
50번째 = ○ (흰 구슬)
검은 구슬 = 16 + 1 = 17개
답 흰 구슬 · 검은 구슬 17개
검은 구슬 = 16 + 1 = 17개
🔑 반복 문제는 나머지가 열쇠. 나머지 1 → ●, 2 → ○, 0 → 묶음의 마지막 ○ ✓
3정사각형 모양으로 바둑돌을 놓습니다. 한 변이 1개면 1개, 2개면 4개, 3개면 9개 … 한 변이 ○개일 때, 테두리에만 놓인 바둑돌 수를 식으로 쓰고, 테두리가 36개일 때 한 변을 구하세요.
정답·해설
전체에서 안쪽을 빼는 방법으로 구해 봅니다.
전체 = ○ × ○
안쪽 = (○−2) × (○−2)
테두리 = ○×○ − (○−2)×(○−2)
풀어 보면 테두리 = ○ × 4 − 4 예요. (모퉁이 4개를 두 번 세지 않으려고 4를 빼는 것)
안쪽 = (○−2) × (○−2)
테두리 = ○×○ − (○−2)×(○−2)
○ × 4 − 4 = 36
○ × 4 = 40
○ = 10
답 △ = ○ × 4 − 4 · 한 변 10개
○ × 4 = 40
○ = 10
확인: 전체 10×10 = 100, 안쪽 8×8 = 64 → 테두리 100 − 64 = 36 ✓ 두 방법이 같은 답!
4표를 보고 식을 쓰고, △ 가 처음으로 200 을 넘는 ○ 을 구하세요.
| ○ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| △ | 2 | 6 | 12 | 20 | 30 |
정답·해설
늘어나는 폭이 4, 6, 8, 10 — 일정하지 않아요. 각 값을 쪼개 봅니다.
2 = 1 × 2
6 = 2 × 3
12 = 3 × 4
20 = 4 × 5
30 = 5 × 6
규칙이 보이나요? ○ × (○ + 1) 이에요!
6 = 2 × 3
12 = 3 × 4
20 = 4 × 5
30 = 5 × 6
○=13 → 13 × 14 = 182 (200 이하) ✗
○=14 → 14 × 15 = 210 (200 초과) ✓
식 △ = ○ × (○ + 1) 답 ○ = 14○=14 → 14 × 15 = 210 (200 초과) ✓
5둘레가 60m 인 원 모양 연못 둘레에 4m 간격으로 나무를 심습니다. 나무는 몇 그루 필요할까요?
정답·해설
60 ÷ 4 = 15개 간격
⚠️ 여기가 함정! 원은 끝이 없어요. 한 바퀴 돌면 처음 나무로 돌아오니 간격 수 = 나무 수 예요.
직선 길: 나무 = 간격 + 1
원 둘레: 나무 = 간격 ← 시작과 끝이 같은 나무!
답 15그루
원 둘레: 나무 = 간격 ← 시작과 끝이 같은 나무!
🔑 작은 수로 확인: 둘레 8m 에 4m 간격 → 나무 2그루(마주 보게). 간격도 2개 — 같아요 ✓
6언니는 13살, 동생은 7살 입니다. 언니 나이가 동생 나이의 2배가 되는 것은 몇 년 전 / 몇 년 후 일까요?
정답·해설
⚠️ 두 사람 나이는 같이 늘어나요. 나이 차 6살은 영원히 그대로예요.
언니가 동생의 2배일 때, 언니 = 동생 × 2 이므로 차이(6살) = 동생 나이 와 같아요!
언니가 동생의 2배일 때, 언니 = 동생 × 2 이므로 차이(6살) = 동생 나이 와 같아요!
동생 = 6살, 언니 = 12살 ← 이때가 2배
지금 동생은 7살이니 1년 전
답 1년 전 (언니 12살, 동생 6살)
지금 동생은 7살이니 1년 전
확인: 12 = 6 × 2 ✓ 🔑 "차이는 안 변한다"가 열쇠 — 나이 문제의 핵심이에요 ✓
7아래 규칙으로 수를 늘어놓습니다. 10번째 수를 구하세요.
1, 3, 6, 10, 15, 21, …
정답·해설
늘어나는 폭을 봅니다: 2, 3, 4, 5, 6 — 1씩 커져요.
1번째 : 1
2번째 : 1+2 = 3
3번째 : 1+2+3 = 6
4번째 : 1+2+3+4 = 10
…
○번째 : 1 부터 ○ 까지 모두 더한 값
10번째 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
2번째 : 1+2 = 3
3번째 : 1+2+3 = 6
4번째 : 1+2+3+4 = 10
…
○번째 : 1 부터 ○ 까지 모두 더한 값
짝지어 더하면 빨라요
(1+10) + (2+9) + (3+8) + (4+7) + (5+6)
= 11 × 5
= 55
답 55
(1+10) + (2+9) + (3+8) + (4+7) + (5+6)
= 11 × 5
= 55
🔑 이런 수를 삼각수라고 해요. 점을 삼각형으로 쌓으면 이 개수가 나와요 ✓
8물통에 물이 500mL 들어 있습니다. 여기에 매분 80mL 씩 물을 넣는 동시에, 바닥 구멍으로 매분 30mL 씩 빠져나갑니다. 물이 1500mL 가 되는 것은 몇 분 뒤일까요?
정답·해설
들어오는 물과 나가는 물을 합쳐서 봅니다. 1분에 실제로 늘어나는 양은 —
80 − 30 = 50mL
식으로 쓰면: 물의 양 = 500 + ○ × 50
500 + ○ × 50 = 1500
○ × 50 = 1000
○ = 20
답 20분 뒤
○ × 50 = 1000
○ = 20
확인: 20분 동안 들어온 물 1600mL, 나간 물 600mL → 500 + 1600 − 600 = 1500 ✓
9표를 보고 ⬜ 를 채우세요. (⚠️ ○ 이 1 씩 늘지 않아요)
| ○ | 3 | 5 | 8 | 12 |
|---|---|---|---|---|
| △ | 10 | 16 | 25 | ⬜ |
정답·해설
○ 이 들쭉날쭉하니 "1 늘 때 얼마 느는가"를 계산해서 봅니다.
○: 3 → 5 (2 늘고) △: 10 → 16 (6 늘음) → 1당 3
○: 5 → 8 (3 늘고) △: 16 → 25 (9 늘음) → 1당 3
곱하는 수는 3. 이제 ○=3 을 넣어 봅니다.
○: 5 → 8 (3 늘고) △: 16 → 25 (9 늘음) → 1당 3
3 × 3 = 9, 실제 △ 는 10 → +1
△ = ○ × 3 + 1
확인: 5×3+1 = 16 ✓ 8×3+1 = 25 ✓
○=12 → 12 × 3 + 1 = 37
△ = ○ × 3 + 1
확인: 5×3+1 = 16 ✓ 8×3+1 = 25 ✓
🔑 ○ 이 뛰어도 (△의 변화) ÷ (○의 변화) 를 하면 곱하는 수가 나와요 ✓
10한 층에서 다음 층까지 올라가는 데 20초가 걸립니다. 1층에서 5층까지 80초가 걸렸다면, 같은 빠르기로 1층에서 9층까지는 몇 초 걸릴까요?
정답·해설
먼저 문제의 말이 맞는지 확인해요.
1층 → 5층 = 4개 층
4 × 20 = 80초 ✓ 맞아요
1층 → 9층은 8개 층이에요(9가 아니라!).
4 × 20 = 80초 ✓ 맞아요
8 × 20 = 160초
답 160초
⚠️ 흔한 오답: "5층에 80초니까 9층은 80 × (9÷5) = 144초" — 틀려요. 층수가 아니라 올라간 층의 개수에 비례해요. 4개 층 → 8개 층이니 정확히 2배인 160초 ✓
「만지는 수학」 · ⑤ 굳히기(최상위) · 초5 규칙과 대응 · 손검산 완료