최상위 열쇠 — 직육면체를 쌓거나 잘라서 만드는 문제는 새로 생기거나 없어지는 면을 정확히 세는 게 핵심이에요.
1한 모서리가 1cm 인 정육면체를 가로4개·세로1개·높이1개 로 쌓아 직육면체를 만들었습니다. 겉넓이를 구하세요.
정답·해설
만든 직육면체는 가로4cm 세로1cm 높이1cm.
가로×세로=4, 세로×높이=1, 가로×높이=4
합=4+1+4=9, 겉넓이=9×2=18
답 18cm²합=4+1+4=9, 겉넓이=9×2=18
2한 모서리가 1cm 인 정육면체 3개를 각각 따로 두면 겉넓이 합은 18cm²(6×3) 입니다. 이 3개를 일렬로 붙이면 겉넓이는 얼마나 줄어들까요?
정답·해설
3개를 붙이면 붙는 자리가 2군데 생겨요(1-2 사이, 2-3 사이). 붙을 때마다 양쪽 면 2개씩(각 1cm²) 겉에서 사라져요.
2군데 × 2면 × 1cm² = 4cm²
답 4cm² 줄어듦 (18 − 4 = 14cm²)
확인: 1×3×1 직육면체 겉넓이 = (3×1+1×1+3×1)×2 = 7×2 = 14 ✓
3가로 4cm 세로 4cm 높이 4cm 인 정육면체를 1cm 짜리 정육면체로 가득 채우려면 몇 개가 필요할까요?
정답·해설
4 × 4 × 4 = 64
답 64개4위 3번의 큰 정육면체(4×4×4) 겉면 전체를 페인트로 칠한 뒤 1cm 정육면체로 잘랐습니다. 어느 면도 칠해지지 않은 작은 정육면체는 몇 개일까요?
정답·해설
겉면에 닿지 않은 것은 가장 안쪽 부분이에요. 한 겹씩 벗겨내면 (4−2)×(4−2)×(4−2)
2 × 2 × 2 = 8
답 8개
🔑 겉면 한 겹을 모든 방향에서 벗기면 변의 길이가 2 씩 줄어요(양쪽에서 1씩) ✓
5위 3번 정육면체에서, 정확히 한 면만 칠해진 작은 정육면체는 몇 개일까요?
정답·해설
한 면만 칠해진 것은 각 면의 한가운데(테두리 제외) 부분이에요. 한 면에 (4−2)×(4−2)=4개씩, 여섯 면이니
4 × 6 = 24
답 24개6직육면체 물탱크(가로2m 세로1.5m 높이2m)에 물을 가득 채우려 합니다. 1분에 0.5m³ 씩 채울 수 있는 펌프로 몇 분 걸릴까요? (부피=가로×세로×높이)
정답·해설
부피 = 2 × 1.5 × 2 = 6m³
시간 = 6 ÷ 0.5 = 12
답 12분시간 = 6 ÷ 0.5 = 12
7정육면체의 겉넓이를 2배로 늘리려면, 한 모서리를 몇 배로 늘려야 할까요?
정답·해설
겉넓이는 (모서리)² 에 비례해요. 겉넓이가 2배 되려면 모서리는 √2 배가 되어야 해요.
(√2)² = 2
답 √2배 (약 1.41배)
🔑 넓이 관련 배율은 제곱근을 써야 정확해요. 초등 범위에서는 "정확히 2배는 아니고 그보다 조금 덜한 배"로 이해해도 충분해요 ✓
8가로 a cm, 세로 a cm, 높이 2a cm 인 직육면체의 겉넓이가 80cm² 일 때, a 를 구하세요.
정답·해설
겉넓이 = (a×a + a×2a + a×2a) × 2 = (a² + 2a² + 2a²) × 2 = 5a² × 2 = 10a²
답 a는 자연수로 존재하지 않음
10a² = 80
a² = 8
a² = 8 은 어떤 자연수의 제곱도 아니에요(2×2=4, 3×3=9).a² = 8
답 a는 자연수로 존재하지 않음
🔑 항상 깔끔한 답이 나오는 건 아니에요. 계산이 맞는지 확인한 뒤 "자연수 답 없음"을 정직하게 답하는 것도 중요해요 ✓
9직육면체 모양 벽돌(가로20cm 세로10cm 높이5cm)을 가로로 눕혀 2단 쌓으면 전체 높이는 얼마일까요? (벽돌은 세우지 않고 눕혀서 쌓음)
정답·해설
눕혀 쌓으면 높이 방향으로 5cm 짜리가 쌓여요.
5 × 2 = 10
답 10cm10위 9번 벽돌을 가로 방향으로 3개 이어 붙여(옆면끼리 붙임) 한 덩어리를 만들면, 이 덩어리의 겉넓이는 벽돌 3개를 따로 뒀을 때보다 얼마나 줄어들까요?
정답·해설
벽돌 1개 겉넓이 = (20×10 + 10×5 + 20×5)×2 = (200+50+100)×2 = 700
3개 이어 붙이면 붙는 자리가 2군데, 각 자리에서 양쪽 면 2개(각 10×5=50cm²)가 사라져요.
3개 이어 붙이면 붙는 자리가 2군데, 각 자리에서 양쪽 면 2개(각 10×5=50cm²)가 사라져요.
2군데 × 2면 × 50 = 200
답 200cm² 줄어듦「만지는 수학」 · ⑤ 굳히기(최상위) · 초5 직육면체·정육면체 · 손검산 완료