최상위 열쇠 — 꼭짓점(V)·모서리(E)·면(F) 사이에는 V − E + F = 2 라는 신기한 규칙(오일러 공식)이 항상 성립해요. 각기둥·각뿔 모두 확인해 보세요.
1육각기둥의 V(꼭짓점), E(모서리), F(면)을 각각 구하고, V − E + F 를 계산하세요.
정답·해설
V = 2×6 = 12
E = 3×6 = 18
F = 6+2 = 8
V−E+F = 12−18+8 = 2
답 V=12, E=18, F=8 · V−E+F=2E = 3×6 = 18
F = 6+2 = 8
V−E+F = 12−18+8 = 2
2칠각뿔의 V, E, F 를 각각 구하고, V − E + F 를 계산하세요.
정답·해설
V = 7+1 = 8
E = 2×7 = 14
F = 7+1 = 8
V−E+F = 8−14+8 = 2
답 V=8, E=14, F=8 · V−E+F=2
E = 2×7 = 14
F = 7+1 = 8
V−E+F = 8−14+8 = 2
🔑 각기둥이든 각뿔이든 항상 2 가 나와요 — 이게 오일러의 공식이에요! ✓
3어떤 각뿔의 모서리 수와 면의 수를 더하면 25 입니다. 이 각뿔의 이름을 구하세요.
정답·해설
모서리(2n) + 면(n+1) = 25
3n + 1 = 25
3n = 24
n = 8
답 팔각뿔3n = 24
n = 8
4밑면이 정n각형인 각기둥에서, 옆면의 넓이가 모두 같으려면 어떤 조건이 필요할까요? (밑면이 정다각형이라는 조건 외에 추가로 필요한 것)
정답·해설
옆면(직사각형)의 가로는 밑면의 변 길이로 이미 같아요(정다각형이니까). 세로(=기둥의 높이)는 모든 옆면에 공통이라 자동으로 같아요.
답 추가 조건 필요 없음 (밑면이 정다각형이면 항상 옆면이 모두 합동)
답 추가 조건 필요 없음 (밑면이 정다각형이면 항상 옆면이 모두 합동)
5각기둥의 꼭짓점 수와 각뿔의 꼭짓점 수가 같아지려면, 두 입체의 밑면은 각각 몇각형이어야 할까요? (각기둥 밑면 n, 각뿔 밑면 m 이라 하면 관계식을 세워 풀어 보세요. 단 n, m 은 3 이상)
정답·해설
각기둥 꼭짓점 = 2n, 각뿔 꼭짓점 = m+1
답 m = 2n − 1 을 만족하는 모든 (n,m) — 예: 삼각기둥·오각뿔(6=6), 사각기둥·칠각뿔(8=8)
2n = m + 1
m = 2n − 1
n=3이면 m=5, n=4면 m=7, n=5면 m=9 … 무수히 많은 짝이 있어요.m = 2n − 1
답 m = 2n − 1 을 만족하는 모든 (n,m) — 예: 삼각기둥·오각뿔(6=6), 사각기둥·칠각뿔(8=8)
확인: n=3 → 각기둥꼭짓점6, m=5 → 각뿔꼭짓점6 ✓
6밑면이 정사각형(한 변 6cm)이고 옆면이 정삼각형인 각뿔(사각뿔)의 전체 겉넓이를 구하세요.
정답·해설
옆면이 한 변 6cm 인 정삼각형이라면, 그 넓이는 (한 변)²×(√3/4)로 구하지만 초등 범위에서는 높이를 직접 주는 문제가 일반적이에요. 이 문제는 정삼각형 높이 계산(√3 필요)이 초등 범위를 넘어서므로, 중학교에서 배우는 내용임을 알려드립니다.
답 초등 범위 밖 (중학교에서 √3 이용해 계산)
답 초등 범위 밖 (중학교에서 √3 이용해 계산)
🔑 모든 문제가 초등 범위에서 깔끔히 풀리지는 않아요. 여기서는 "이 계산엔 더 배워야 할 도구가 필요하다"는 걸 아는 것도 실력이에요 ✓
7두 각기둥 A(밑면 n각형), B(밑면 2n각형)의 꼭짓점 수의 차가 16 이라면 n을 구하세요.
정답·해설
A 꼭짓점 = 2n, B 꼭짓점 = 2×(2n) = 4n
4n − 2n = 16
2n = 16
n = 8
답 82n = 16
n = 8
8각기둥의 면의 수가 각뿔의 면의 수의 2배이고, 두 도형의 밑면이 같은 n각형이라면 n을 구하세요.
정답·해설
각기둥 면 = n+2, 각뿔 면 = n+1
답 조건을 만족하는 자연수 n은 존재하지 않음
n+2 = 2×(n+1)
n+2 = 2n+2
n = 0
n=0 은 다각형이 될 수 없어요(최소 3각형부터).n+2 = 2n+2
n = 0
답 조건을 만족하는 자연수 n은 존재하지 않음
🔑 식을 세워 풀었는데 말이 안 되는 답(n=0)이 나오면, "조건을 만족하는 각기둥·각뿔은 없다"고 정직하게 답해요 ✓
9밑면이 정삼각형(한 변 5cm)이고 높이가 8cm 인 삼각기둥 모양의 상자를 끈으로 옆면을 한 바퀴 둘러 묶으려 합니다(밑면 둘레 방향). 필요한 끈의 길이를 구하세요. (매듭 제외)
정답·해설
밑면 둘레 방향으로 한 바퀴 = 밑면 둘레
5 × 3 = 15
답 15cm
🔑 높이(8cm)는 이 방향의 끈 길이와 관계없어요 — 함정에 주의! ✓
10각뿔대(각뿔을 밑면과 평행하게 잘라 위쪽 뿔을 없앤 도형)는 각기둥일까요 각뿔일까요, 아니면 둘 다 아닐까요?
정답·해설
각뿔대는 밑면 2개(서로 닮음이지만 크기가 다름, 평행) + 옆면은 사다리꼴들로 이루어져요. 각기둥(두 밑면이 합동)도, 각뿔(밑면 1개)도 아니에요.
답 둘 다 아님 (별도의 입체도형 — 각뿔대)
답 둘 다 아님 (별도의 입체도형 — 각뿔대)
🔑 모든 입체가 딱 두 종류로만 나뉘는 건 아니에요. 새로운 이름이 필요한 도형도 있어요 ✓
「만지는 수학」 · ⑤ 굳히기(최상위) · 초6 각기둥과 각뿔 · 손검산 완료