최상위 열쇠 — 위·앞·옆에서 본 모양만 주어지면, 실제 개수는 정확히 하나로 정해지지 않고 범위(최소~최대)로만 알 수 있는 경우가 많아요.
1위에서 본 모양이 3칸이고, 앞에서 본 모양의 각 칸 최고층이 2, 3, 1 층입니다. 앞에서 본 모양만으로 확정되는 최소 개수를 구하세요. (각 칸에 앞모양의 최고층만큼은 반드시 있어야 함)
정답·해설
각 줄의 앞에서 본 최고층이 그 줄 어딘가에는 반드시 있어야 하니, 최소한 그 층수만큼은 쌓여 있어야 해요.
2+3+1 = 6
답 6개 (최소)2위에서 본 모양이 2×2(4칸) 이고, 앞·옆에서 본 모양의 최고층이 모두 3층입니다. 쌓을 수 있는 최대 개수를 구하세요.
정답·해설
모든 칸에 최고층(3층)까지 쌓으면 최대가 돼요.
4 × 3 = 12
답 12개3위 2번 조건에서 최소 개수는 몇 개일까요? (모든 칸에 최소 1개는 있어야 하고, 각 줄에 최고층 3이 적어도 한 번은 나타나야 함)
정답·해설
2×2 배열에서, 각 가로줄·세로줄에 3층이 최소 하나씩은 있어야 해요. 대각선에 3을 놓고 나머지는 1로 채우면 조건을 만족해요.
예: [[3,1],[1,3]] → 3+1+1+3 = 8
답 8개
🔑 이런 문제는 직접 배치를 그려보며 최소가 되는 경우를 찾아야 해요 ✓
4쌓기나무 27개(3×3×3)로 만든 정육면체의 겉면 전체를 빨간 페인트로 칠한 뒤 낱개로 분리했습니다. 세 면이 칠해진 쌓기나무는 몇 개일까요?
정답·해설
세 면이 칠해진 것은 꼭짓점 자리에 있던 것들이에요. 정육면체는 꼭짓점이 8개.
답 8개
답 8개
5위 4번에서 두 면만 칠해진 쌓기나무는 몇 개일까요? (모서리 위, 꼭짓점 제외)
정답·해설
모서리는 12개, 각 모서리에서 양 끝(꼭짓점)을 뺀 가운데 1개씩(3−2=1)이 두 면 칠해진 것.
12 × 1 = 12
답 12개6위 4번에서 한 면만 칠해진 것과 전혀 칠해지지 않은 것은 각각 몇 개일까요?
정답·해설
한 면: 각 면의 가운데(3−2)×(3−2)=1개씩 × 6면 = 6개
전혀 안 칠해짐(맨 안쪽): (3−2)×(3−2)×(3−2) = 1개
전혀 안 칠해짐(맨 안쪽): (3−2)×(3−2)×(3−2) = 1개
확인: 8(세면)+12(두면)+6(한면)+1(0면) = 27 ✓
답 한 면 6개 · 칠 안됨 1개7가로4·세로4·높이4(64개)인 정육면체를 페인트칠하고 분리하면, 두 면만 칠해진 쌓기나무는 몇 개일까요?
정답·해설
모서리 12개, 각 모서리에서 꼭짓점 2개를 뺀 가운데 (4−2)=2개씩
12 × 2 = 24
답 24개8쌓기나무 n×n×n 정육면체에서 전혀 칠해지지 않은 개수가 8개라면 n을 구하세요.
정답·해설
칠 안된 개수 = (n−2)³
(n−2)³ = 8
n−2 = 2
n = 4
답 4n−2 = 2
n = 4
9쌓기나무를 한 줄로(폭 1칸) 나란히 5개의 기둥으로 세워 계단을 만들었습니다. 기둥의 높이는 차례로 5, 4, 3, 2, 1 층입니다(각 쌓기나무 한 면=1cm²). 이 계단 모양의 겉넓이를 구하세요.
정답·해설
먼저 쌓기나무를 모두 따로 뒀을 때 겉넓이부터 구하고, 맞닿아 사라지는 면을 뺍니다.
전체 개수 = 5+4+3+2+1 = 15개
따로 두면 겉넓이 = 15 × 6 = 90
맞닿은 자리(접촉 쌍)를 셉니다.
따로 두면 겉넓이 = 15 × 6 = 90
① 같은 기둥 안에서 위아래로 맞닿은 곳: (5−1)+(4−1)+(3−1)+(2−1)+(1−1) = 4+3+2+1+0 = 10
② 옆 기둥끼리 맞닿은 곳: min(5,4)+min(4,3)+min(3,2)+min(2,1) = 4+3+2+1 = 10
접촉 쌍 합계 = 20
접촉 한 쌍마다 겉에서 2면씩(양쪽 각 1면) 사라져요.
② 옆 기둥끼리 맞닿은 곳: min(5,4)+min(4,3)+min(3,2)+min(2,1) = 4+3+2+1 = 10
접촉 쌍 합계 = 20
겉넓이 = 90 − 20×2 = 90 − 40 = 50
답 50cm²
🔑 아무리 복잡한 모양도 "따로 두면 몇 개, 맞닿은 곳은 몇 군데"만 정확히 세면 항상 구할 수 있어요 ✓
10가로2·세로2·높이2(8개, 겉넓이24cm²) 정육면체를 반으로 잘라(높이 방향으로, 4개씩 두 조각) 두 조각으로 나누면 겉넓이의 합은 얼마가 될까요?
정답·해설
자른 자리에 새로운 단면 2개가 생겨요. 각 단면은 2×2=4cm².
24 + 4×2 = 24 + 8 = 32
답 32cm²
🔑 자르면 겉넓이는 항상 늘어나요 — 새로 드러난 단면만큼 ✓
「만지는 수학」 · ⑤ 굳히기(최상위) · 초6 공간과 입체 · 손검산 완료