📘 직관수학 교재로 개념 먼저 보기 · 중급을 넘었다면 이제 직선과의 교점(연립), x축과의 관계(판별식), 대칭이동을 다룹니다. 막히면 → ◂ 중급 10문항 으로 잠깐 돌아가도 좋아요.
1이차함수 y = x² − 2x + 3 의 그래프와 직선 y = x + 1 의 교점의 x좌표를 모두 구하시오.
정답·해설
교점은 두 y가 같은 곳: x² − 2x + 3 = x + 1 → x² − 3x + 2 = 0 → (x − 1)(x − 2) = 0 → x = 1, x = 2
2이차함수 y = x² + ax + b 의 그래프가 두 점 (1, 0), (3, 0) 을 지날 때, a + b 의 값을 구하시오.
정답·해설
(1,0),(3,0)은 x절편이니 근이 1, 3. 그러면 y = (x − 1)(x − 3) = x² − 4x + 3. 따라서 a = −4, b = 3 → a + b = −1
3이차함수 y = −2(x − 1)² + 8 의 그래프가 x축과 만나는 두 점 사이의 거리를 구하시오.
정답·해설
y = 0: −2(x − 1)² + 8 = 0 → (x − 1)² = 4 → x − 1 = ±2 → x = −1, 3. 거리 = 3 − (−1) = 4
4이차함수 y = x² − 4x + k 의 그래프가 x축과 한 점에서만 만날 때(접할 때), 상수 k 의 값을 구하시오.
정답·해설
한 점에서 만남 = 완전제곱이 딱 x축에 닿음. (x − 2)² − 4 + k 에서 꼭짓점 y = k − 4 = 0 → k = 4. → k = 4
판별식으로도: b² − 4ac = 16 − 4k = 0 → k = 4 ✓
5이차함수 y = x² + 2x − 3 의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동한 그래프의 식을 구하시오.
정답·해설
x축 대칭 = y를 −y로 바꾸기: −y = x² + 2x − 3 → 양변에 −1: y = −x² − 2x + 3
확인: 원래 꼭짓점 (−1, −4) → 대칭 후 (−1, 4), y부호만 뒤집힘 ✓
6두 이차함수 y = x² 와 y = x² − 4x 의 그래프의 교점의 좌표를 구하시오.
정답·해설
x² = x² − 4x → 0 = −4x → x = 0. 그때 y = 0² = 0. → 교점 (0, 0)
x²이 양쪽에서 사라져 일차식이 되므로 교점은 딱 하나 ✓
7이차함수 y = x² − 6x + 11 의 최솟값을 m, 그때의 x의 값을 n 이라 할 때, m + n 의 값을 구하시오.
정답·해설
(x − 3)² + 2 → 최솟값 m = 2 는 x = 3 일 때이니 n = 3. m + n = 2 + 3 = 5
8이차함수 f(x) = x² − 2x 에 대하여 f(a) = f(4) 를 만족하는 a (단, a ≠ 4) 의 값을 구하시오.
정답·해설
축이 x = 1 이고, f값이 같은 두 점은 축에서 같은 거리만큼 떨어져 대칭이에요. 4는 축에서 오른쪽으로 3, 그러니 a는 왼쪽으로 3 = 1 − 3 = −2
직접 검산: f(4) = 8, x² − 2x = 8 → (x − 4)(x + 2) = 0 → a = −2 ✓
9이차함수 y = ax² + bx + c 의 그래프가 아래로 볼록하고 꼭짓점이 (1, −2) 이며 y절편이 0 일 때, 상수 a 의 값을 구하시오.
정답·해설
꼭짓점 꼴 y = a(x − 1)² − 2. y절편(x = 0)이 0: a·1 − 2 = 0 → a = 2. a = 2 > 0 이라 아래로 볼록 조건도 만족 → a = 2
10지면에서 던진 물체의 높이 h(m)가 시간 t(초)에 대해 h = −5t² + 30t 로 주어진다. 물체가 지면에 다시 떨어지는 것은 던진 지 몇 초 후인가?
정답·해설
지면에 닿으면 h = 0: −5t² + 30t = 0 → −5t(t − 6) = 0 → t = 0(던진 순간) 또는 t = 6. 다시 떨어지는 때는 6초 후
검산: h(6) = −5·36 + 30·6 = −180 + 180 = 0 ✓
「만지는 수학」 · ⑤ 굳히기(상급) · 중3 이차함수 · 손검산·이중검수 완료