📘 직관수학 교재로 개념 먼저 보기 · 여기까지 왔다면 이차함수의 고수예요. 제한된 범위의 최대·최소, 두 근의 관계, "모든 x에서 성립", 평행이동 역추적 — 고1 함수로 이어지는 다리입니다. 막히면 → ◂ 상급 10문항.
1이차함수 y = x² − 2ax + a² + a − 2 의 최솟값이 −1 일 때, 양수 a 의 값을 구하시오.
정답·해설
x² − 2ax + a² = (x − a)² 이므로 y = (x − a)² + (a − 2). 최솟값은 (x−a)²이 0일 때 = a − 2. 이것이 −1 → a = 1. (양수 조건 만족) → a = 1
2이차함수 f(x) = x² + 2x + 3 에서 −2 ≤ x ≤ 1 일 때, 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.
정답·해설
f = (x + 1)² + 2, 축 x = −1 은 범위 안에 있어요. 최솟값은 축에서 f(−1) = 2. 최댓값은 축에서 더 먼 끝: f(1) = 6, f(−2) = 3 이니 f(1) = 6. 합 = 2 + 6 = 8
범위 안에 축이 있으면 최소는 꼭짓점, 최대는 양 끝 중 먼 쪽 ✓
3이차함수 y = x² − 2kx + k² + 2k 의 꼭짓점이 직선 y = x + 2 위에 있을 때, 상수 k 의 값을 구하시오.
정답·해설
y = (x − k)² + 2k 이므로 꼭짓점은 (k, 2k). 이 점이 직선 y = x + 2 위에 있으니 2k = k + 2 → k = 2
4모든 실수 x 에 대하여 x² + 2x + k > 0 이 항상 성립하도록 하는 상수 k 의 값의 범위를 구하시오.
정답·해설
아래로 볼록한 포물선이 x축에 닿지도 않고 완전히 위에 있어야 해요 = 실근이 없음 = 판별식 < 0. b² − 4ac = 4 − 4k < 0 → k > 1 → k > 1
k = 1이면 (x+1)²으로 x = −1에서 0이 되어 "> 0"을 어김 ✓
5이차함수 y = x² + ax + b 가 x = 2 에서 최솟값 −3 을 가질 때, a − b 의 값을 구하시오.
정답·해설
최소가 x = 2 이니 축 = −a/2 = 2 → a = −4. 최솟값 f(2) = 4 + 2a + b = 4 − 8 + b = b − 4 = −3 → b = 1. a − b = −4 − 1 = −5
검산: y = x² − 4x + 1 = (x − 2)² − 3 ✓
6이차방정식 x² − 5x + k = 0 의 두 근의 차가 3 일 때, 상수 k 의 값을 구하시오.
정답·해설
두 근을 α, β. 근과 계수: α + β = 5, αβ = k. (α − β)² = (α + β)² − 4αβ = 25 − 4k. 차가 3이니 (α − β)² = 9 → 25 − 4k = 9 → k = 4
검산: x² − 5x + 4 = (x − 1)(x − 4), 두 근 1·4의 차 = 3 ✓
7이차함수 y = (x − 1)(x − 5) 의 그래프에서 y < 0 인(x축 아래인) 부분의 x 의 값의 범위를 구하시오.
정답·해설
아래로 볼록한 포물선은 두 x절편 사이에서만 x축 아래로 내려가요. 절편이 1과 5이니 → 1 < x < 5
8이차함수 y = −x² + 6x + c 의 최댓값이 5 일 때, 상수 c 의 값을 구하시오.
정답·해설
−(x² − 6x) + c = −((x − 3)² − 9) + c = −(x − 3)² + 9 + c. 위로 볼록이라 최댓값 = 9 + c. 이것이 5 → c = −4
9이차함수 f(x) = x² + px + q 가 f(1) = 0, f(3) = 0 을 만족할 때, f(0) + f(4) 의 값을 구하시오.
정답·해설
근이 1, 3 이니 f(x) = (x − 1)(x − 3). f(0) = (−1)(−3) = 3, f(4) = (3)(1) = 3. 합 = 6
10이차함수 f(x) = x² + ax + b 의 그래프를 x축 방향으로 3 만큼 평행이동하면 y = x² − 4x + 7 이 된다. 이때 f(1) 의 값을 구하시오.
정답·해설
평행이동 후 꼭짓점을 역추적. y = x² − 4x + 7 = (x − 2)² + 3, 꼭짓점 (2, 3). 오른쪽으로 3 옮긴 결과이니 원래 꼭짓점은 (−1, 3) → f(x) = (x + 1)² + 3 = x² + 2x + 4. 따라서 f(1) = 1 + 2 + 4 = 7
검산: f(x) = x²+2x+4 를 오른쪽 3 이동 → (x−3)²+2(x−3)+4 = x²−4x+7 ✓
「만지는 수학」 · ⑤ 굳히기(최상위) · 중3 이차함수 · 손검산·이중검수 완료