📘 직관수학 교재로 개념 먼저 보기 · 여기까지 왔다면 인수분해의 고수예요. 덩어리 치환, x⁴ 꼴(복이차식), (제곱)+(제곱)=0 조건, 곱을 짝지어 묶는 기술 — 고1 다항식으로 이어지는 다리입니다. 막히면 → ◂ 상급 10문항.
1다항식 x⁴ + x² + 1 을 인수분해 하시오.
정답·해설
완전제곱을 노려 x⁴ + 2x² + 1 − x² = (x² + 1)² − x² 로 변형. 제곱의 차 → {(x² + 1) + x}{(x² + 1) − x} → (x² + x + 1)(x² − x + 1)
2다항식 x² − y² − 4x + 4 를 인수분해 하시오.
정답·해설
y²를 뺀 세 항을 완전제곱으로: (x² − 4x + 4) − y² = (x − 2)² − y². 제곱의 차 → (x − 2 + y)(x − 2 − y)
3x² + y² = 10, xy = 3 이고 x, y 가 양수일 때, x + y 의 값을 구하시오.
정답·해설
(x + y)² = x² + y² + 2xy = 10 + 6 = 16. x, y 양수이니 x + y = 4
x + y = 4, xy = 3 → x, y 는 1과 3 ✓
4a + b = 3, ab = 1 일 때, a³ + b³ 의 값을 구하시오.
정답·해설
a³ + b³ = (a + b)³ − 3ab(a + b) = 27 − 3·1·3 = 27 − 9 = 18
5101² − 1 의 값을 인수분해를 이용해 구하시오.
정답·해설
x² − 1 = (x + 1)(x − 1). (101 + 1)(101 − 1) = 102 × 100 = 10200
6다항식 x⁴ − 16 을 끝까지 인수분해 하시오.
정답·해설
x⁴ − 16 = (x²)² − 4² = (x² − 4)(x² + 4). x² − 4 를 한 번 더: → (x − 2)(x + 2)(x² + 4)
x² + 4 는 실수 범위에서 더 이상 안 쪼개져요 ✓
7다항식 (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + 1 을 인수분해 하시오.
정답·해설
양 끝·가운데를 짝지어요: (x+1)(x+4) = x²+5x+4, (x+2)(x+3) = x²+5x+6. t = x²+5x 로 두면 (t+4)(t+6)+1 = t²+10t+25 = (t+5)². 되돌리면 → (x² + 5x + 5)²
8a² − b² = 20, a − b = 2 일 때, a 의 값을 구하시오.
정답·해설
a² − b² = (a + b)(a − b) = 20, a − b = 2 → a + b = 10. a + b = 10, a − b = 2 를 더하면 2a = 12 → a = 6 (b = 4)
9다항식 x² + ax + b 가 (x − 1)(x − 4) 로 인수분해될 때, a + b 의 값을 구하시오.
정답·해설
(x − 1)(x − 4) = x² − 5x + 4 이니 a = −5, b = 4. a + b = −5 + 4 = −1
10실수 x, y 가 x² + y² + 2x − 4y + 5 = 0 을 만족할 때, x + y 의 값을 구하시오.
정답·해설
완전제곱 두 개로 묶기: (x² + 2x + 1) + (y² − 4y + 4) = (x + 1)² + (y − 2)² = 0. 실수의 제곱은 0 이상이라 둘 다 0 → x = −1, y = 2. x + y = 1
(제곱) + (제곱) = 0 이면 각각 0 — 강력한 도구 ✓
「만지는 수학」 · ⑤ 굳히기(최상위) · 중3 인수분해 · 손검산·이중검수 완료