앞 단원에서 우리는 (x + 2)(x + 3) 을 펼쳐서 x² + 5x + 6 을 만들었어요. 이게 전개죠.
그럼 이번엔 반대로 가볼까요? x² + 5x + 6 을 보고 (x + 2)(x + 3) 을 알아맞히는 거예요.
요리로 치면, 완성된 된장찌개를 맛보고 "아, 두부랑 애호박이 들어갔네" 하고 재료를 알아내는 것과 같아요. 만드는 것보다 어렵죠? 🤔
이걸 인수분해라고 해요. 그런데 왜 굳이 되돌릴까요?
이유는 딱 하나예요 — 곱의 꼴로 만들면 "= 0" 을 풀 수 있기 때문이에요.
x² + 5x + 6 = 0 은 막막하지만, (x + 2)(x + 3) = 0 이면? "곱해서 0이면 둘 중 하나가 0" 이니 답이 x = −2 또는 −3 으로 툭 튀어나와요.
그래서 인수분해는 다음 단원(이차방정식)으로 가는 열쇠랍니다.
1 인수분해란 — 합의 꼴을 곱의 꼴로
인수분해는 더하기로 늘어선 식을, 곱하기로 묶는 것이에요.
x² + 5x + 6 (더하기 3덩어리) → (x + 2)(x + 3) (곱하기 2덩어리)
이때 곱해진 각각 (x+2), (x+3) 을 인수라고 불러요.
위 히어로 그림을 보세요. 흩어져 있던 x², 3x, 2x, 6 네 조각을 모으면 가로 (x+3), 세로 (x+2) 인 직사각형 하나가 되죠? 그게 인수분해예요.
전개 ↓ 인수분해 ↑ (둘은 서로 반대 방향)
x² + 5x + 6 (더하기 3덩어리) → (x + 2)(x + 3) (곱하기 2덩어리)
이때 곱해진 각각 (x+2), (x+3) 을 인수라고 불러요.
위 히어로 그림을 보세요. 흩어져 있던 x², 3x, 2x, 6 네 조각을 모으면 가로 (x+3), 세로 (x+2) 인 직사각형 하나가 되죠? 그게 인수분해예요.
💡 그래서 검산이 아주 쉬워요. 인수분해한 답을 다시 전개해서 원래 식이 나오면 정답이에요. 시험에서 꼭 이렇게 확인하세요!
2 1순위 — 공통인수 묶기 (제일 먼저!)
인수분해를 시작할 땐 무조건 이것부터 봐요. "모든 항에 공통으로 들어 있는 게 있나?"
2x² + 6x → 두 항 모두에 2x 가 있어요 → 2x(x + 3)
x³ − x → 두 항 모두에 x → x(x² − 1) → 여기서 끝내면 안 돼요! x² − 1 이 또 분해되니 → x(x + 1)(x − 1)
ma + mb = m(a + b)
2x² + 6x → 두 항 모두에 2x 가 있어요 → 2x(x + 3)
x³ − x → 두 항 모두에 x → x(x² − 1) → 여기서 끝내면 안 돼요! x² − 1 이 또 분해되니 → x(x + 1)(x − 1)
⚠️ 흔한 실수 둘:
• 공통인수를 안 묶고 바로 공식부터 찾기 → 항상 공통인수가 먼저!
• 묶고 나서 더 분해되는데 멈추기 → "끝까지" 인수분해했는지 꼭 다시 보기
• 공통인수를 안 묶고 바로 공식부터 찾기 → 항상 공통인수가 먼저!
• 묶고 나서 더 분해되는데 멈추기 → "끝까지" 인수분해했는지 꼭 다시 보기
3 2순위 — 공식 거꾸로 읽기
앞 단원 곱셈공식을 오른쪽에서 왼쪽으로 읽으면 그대로 인수분해 공식이에요. 새로 외울 게 없어요!
① a² + 2ab + b² = (a + b)² ② a² − 2ab + b² = (a − b)²
완전제곱식 알아보는 법: 양 끝이 제곱이고, 가운데가 양 끝 제곱근의 곱 × 2 이면 OK.
x² + 6x + 9 → 끝이 x²과 3², 가운데 6x = 2 × x × 3 ✓ → (x + 3)²
③ a² − b² = (a + b)(a − b)
x² + 6x + 9 → 끝이 x²과 3², 가운데 6x = 2 × x × 3 ✓ → (x + 3)²
제곱 − 제곱 모양만 보이면 즉시 분해돼요. 가장 알아보기 쉬운 공식이에요.
x² − 16 = x² − 4² → (x + 4)(x − 4) / 4x² − 9 = (2x)² − 3² → (2x + 3)(2x − 3)
x² − 16 = x² − 4² → (x + 4)(x − 4) / 4x² − 9 = (2x)² − 3² → (2x + 3)(2x − 3)
4 3순위 — x² + (a+b)x + ab 형 (더해서 ○, 곱해서 △)
가장 많이 나오는 유형이에요. 두 수 찾기 게임이라고 생각하세요.
x² + 5x + 6 에서 → 더해서 5, 곱해서 6 인 두 수는? → 2와 3 → (x + 2)(x + 3)
x² − x − 6 에서 → 더해서 −1, 곱해서 −6 인 두 수는? → −3과 2 → (x − 3)(x + 2)
x² + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
x² + 5x + 6 에서 → 더해서 5, 곱해서 6 인 두 수는? → 2와 3 → (x + 2)(x + 3)
x² − x − 6 에서 → 더해서 −1, 곱해서 −6 인 두 수는? → −3과 2 → (x − 3)(x + 2)
💡 부호 요령: 곱이 + 면 두 수는 같은 부호(합의 부호를 따라감). 곱이 − 면 두 수는 다른 부호(절댓값이 큰 쪽이 합의 부호). 이것만 알아도 후보를 확 줄일 수 있어요.
5 4순위 — ax² + bx + c 형 (십자곱셈)
x² 앞에 숫자가 붙으면 조금 복잡해져요. 이때 쓰는 게 십자곱셈이에요.
2x² + 7x + 3 을 볼게요. 왼쪽엔 2x²을 만들 2x 와 x, 오른쪽엔 3을 만들 1 과 3 을 놓고,
대각선으로 곱해서 더한 값이 가운데 7x 가 되게 짝을 맞춰요.
2x² + 7x + 3 을 볼게요. 왼쪽엔 2x²을 만들 2x 와 x, 오른쪽엔 3을 만들 1 과 3 을 놓고,
대각선으로 곱해서 더한 값이 가운데 7x 가 되게 짝을 맞춰요.
대각선 곱의 합이 7x 로 딱 맞았죠? 그러면 가로로 읽어서 → (2x + 1)(x + 3) 이에요.
💡 처음엔 짝이 안 맞을 수 있어요. 그럼 1과 3의 자리를 바꿔 다시 해보면 돼요. 몇 번 해보면 금방 손에 익어요 — 맞을 때까지 자리 바꾸기가 정석입니다.
6 예제로 확인
예제 1 · 공통인수 먼저, 그다음 공식
2x² − 8 을 인수분해하라.
① 공통인수 2 를 먼저 묶어요 → 2(x² − 4)
② 괄호 안이 제곱 − 제곱 이니 또 분해 → 2(x + 2)(x − 2)
답: 2(x + 2)(x − 2)
① 공통인수 2 를 먼저 묶어요 → 2(x² − 4)
② 괄호 안이 제곱 − 제곱 이니 또 분해 → 2(x + 2)(x − 2)
답: 2(x + 2)(x − 2)
검산(전개): 2(x² − 4) = 2x² − 8 ✓ — 공통인수를 안 묶고 시작했으면 헤맸을 거예요
예제 2 · 두 수 찾기
x² − x − 6 을 인수분해하라.
곱이 −6(음수) 이니 두 수는 부호가 다르고, 합이 −1 이니 큰 쪽이 음수.
후보: (−6, 1) 합 −5 ✗ / (−3, 2) 합 −1 ✓ / (−2, 3) 합 1 ✗
답: (x − 3)(x + 2)
곱이 −6(음수) 이니 두 수는 부호가 다르고, 합이 −1 이니 큰 쪽이 음수.
후보: (−6, 1) 합 −5 ✗ / (−3, 2) 합 −1 ✓ / (−2, 3) 합 1 ✗
답: (x − 3)(x + 2)
검산: (x−3)(x+2) = x² + 2x − 3x − 6 = x² − x − 6 ✓
예제 3 · 끝까지 분해하기
x⁴ − 1 을 인수분해하라.
① 제곱 − 제곱: (x²)² − 1² = (x² + 1)(x² − 1)
② 여기서 멈추면 안 돼요! x² − 1 이 또 제곱−제곱이에요 → (x + 1)(x − 1)
답: (x² + 1)(x + 1)(x − 1)
① 제곱 − 제곱: (x²)² − 1² = (x² + 1)(x² − 1)
② 여기서 멈추면 안 돼요! x² − 1 이 또 제곱−제곱이에요 → (x + 1)(x − 1)
답: (x² + 1)(x + 1)(x − 1)
x² + 1 은 (실수 범위에선) 더 이상 분해 안 돼요 — 제곱해서 −1 되는 수가 없으니까요 ✓
7 한 줄 정리
인수분해 = 전개의 반대 = 합의 꼴 → 곱의 꼴. 곱셈공식을 거꾸로 읽으면 그게 공식이에요.
순서가 생명: ①공통인수 → ②공식(완전제곱·제곱차) → ③두 수 찾기 → ④십자곱셈.
끝나면 더 분해될 게 없는지 확인하고, 다시 전개해서 검산. 이게 다음 단원 이차방정식의 열쇠예요.
이제 칼럼에서 조각을 직접 맞춰보고, 문제로 굳히세요.
순서가 생명: ①공통인수 → ②공식(완전제곱·제곱차) → ③두 수 찾기 → ④십자곱셈.
끝나면 더 분해될 게 없는지 확인하고, 다시 전개해서 검산. 이게 다음 단원 이차방정식의 열쇠예요.
이제 칼럼에서 조각을 직접 맞춰보고, 문제로 굳히세요.
✍️ 이제 문제로 굳히기 (각 10문항 · 손검산·이중검수 완료)
「만지는 수학」 · ① 읽고 (직관수학 교재) · 중3 인수분해