📘 직관수학 교재로 개념 먼저 보기 · 여기까지 왔다면 곱셈공식의 고수예요. x³+y³ 변형, x+1/x 세제곱, 곱을 연쇄로 묶어 2ⁿ−1 만들기, 근호식의 값 — 고1 곱셈공식으로 이어지는 다리입니다. 막히면 → ◂ 상급 10문항.
1x + y = 6, xy = 8 일 때, x³ + y³ 의 값을 구하시오.
정답·해설
x³ + y³ = (x + y)³ − 3xy(x + y) = 6³ − 3·8·6 = 216 − 144 = 72
2x + 1/x = 4 일 때, x³ + 1/x³ 의 값을 구하시오.
정답·해설
x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ − 3(x + 1/x) = 4³ − 3·4 = 64 − 12 = 52
3x = √3 + √2, y = √3 − √2 일 때, x² + y² 의 값을 구하시오.
정답·해설
x + y = 2√3, xy = (√3)² − (√2)² = 1. x² + y² = (x + y)² − 2xy = 12 − 2 = 10
4a + b + c = 6, ab + bc + ca = 11 일 때, a² + b² + c² 의 값을 구하시오.
정답·해설
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) → 36 = (a² + b² + c²) + 22 → 14
5x² − 3x + 1 = 0 일 때, x² + 1/x² 의 값을 구하시오.
정답·해설
양변을 x 로 나누면 x − 3 + 1/x = 0 → x + 1/x = 3. 따라서 x² + 1/x² = (x + 1/x)² − 2 = 9 − 2 = 7
6(2 + 1)(2² + 1)(2⁴ + 1)(2⁸ + 1) 의 값을 구하시오.
정답·해설
앞에 (2 − 1) = 1 을 몰래 곱해도 값은 그대로. (2 − 1)(2 + 1) = 2² − 1, 여기에 (2² + 1)을 곱하면 2⁴ − 1 … 계속하면 2¹⁶ − 1. → 65535
합·차 공식이 사슬처럼 이어지며 2¹⁶ − 1 = 65535 ✓
7x = 2 − √3 일 때, x + 1/x 의 값을 구하시오.
정답·해설
1/x = 1/(2 − √3) 을 유리화하면 (2 + √3)/(4 − 3) = 2 + √3. 따라서 x + 1/x = (2 − √3) + (2 + √3) = 4
8a − b = 3, a³ − b³ = 63 일 때, ab 의 값을 구하시오.
정답·해설
a³ − b³ = (a − b)³ + 3ab(a − b) = 27 + 3ab·3 = 27 + 9ab = 63 → 9ab = 36 → ab = 4
9x² + y² = 13, xy = 6 이고 x > y > 0 일 때, x − y 의 값을 구하시오.
정답·해설
(x − y)² = x² + y² − 2xy = 13 − 12 = 1. x > y 이니 x − y > 0 → 1
10(x − 1)(x + 1)(x² + 1)(x⁴ + 1) 을 간단히 하시오.
정답·해설
앞에서부터 합·차 공식을 연쇄로: (x − 1)(x + 1) = x² − 1, × (x² + 1) = x⁴ − 1, × (x⁴ + 1) = x⁸ − 1
「만지는 수학」 · ⑤ 굳히기(최상위) · 중3 다항식의 곱셈 · 손검산·이중검수 완료