한 변이 a 인 정사각형 방이 있어요. 좁아서 가로도 b, 세로도 b 만큼 넓히기로 했어요.
자, 넓어진 방의 넓이는 얼마일까요?
많은 사람이 이렇게 생각해요 — "원래 a² 에다 늘린 b² 를 더하면 되겠네!" 🤔
그런데 직접 그려보면 이야기가 달라져요.
위 그림처럼 방은 네 조각으로 나뉘어요. 원래 방 a², 새로 붙은 작은 방 b², 그리고…
옆구리에 길쭉한 직사각형 ab 가 두 개 더 생겨요! 이 둘을 아무도 못 봐서 틀리는 거예요.
그래서 답은 a² + b² 이 아니라 a² + 2ab + b² 랍니다.
오늘 배울 곱셈공식은, 이렇게 넓이로 보면 저절로 보이는 이야기예요.
1 분배법칙 — 빠짐없이, 하나도 빼놓지 말고
모든 곱셈의 출발점은 하나예요. 앞의 모든 항 × 뒤의 모든 항, 빠짐없이 곱하기.
(x + 2)(x + 3) 이라면 곱해야 할 짝이 2 × 2 = 4가지예요:
x·x = x² / x·3 = 3x / 2·x = 2x / 2·3 = 6
다 더하고 같은 것(3x와 2x)끼리 묶으면 → x² + 5x + 6
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
(x + 2)(x + 3) 이라면 곱해야 할 짝이 2 × 2 = 4가지예요:
x·x = x² / x·3 = 3x / 2·x = 2x / 2·3 = 6
다 더하고 같은 것(3x와 2x)끼리 묶으면 → x² + 5x + 6
💡 곱셈공식은 사실 이 분배법칙의 지름길일 뿐이에요. 자주 나오는 모양을 미리 계산해두고 외워 쓰는 거죠. 공식을 잊어버려도 하나씩 다 곱하면 반드시 같은 답이 나와요. 그러니 겁먹지 마세요!
2 곱셈공식 3형제 — 넓이로 이해하기
외울 건 딱 세 개예요. 그런데 무작정 외우지 말고, 위 히어로 그림을 머리에 넣어두세요.
① (a + b)² = a² + 2ab + b²
그림 그대로예요. 큰 정사각형 = a² + ab + ab + b². 직사각형이 둘이라 2ab.
② (a − b)² = a² − 2ab + b²
부호만 바뀌어요. 가운데만 −2ab. 마지막 b² 는 (−b)² 이라 여전히 + 예요!
③ (a + b)(a − b) = a² − b²
가운데가 싹 사라지는 마법. 왜냐면 −ab + ab = 0 이거든요. 이게 합·차 공식이에요.
⚠️ 가장 많이 틀리는 셋:
• (a + b)² ≠ a² + b² — 2ab 를 빠뜨림 (가장 흔한 실수!)
• (a − b)² 의 끝은 −b² 이 아니라 +b² — 음수의 제곱은 양수
• (a + b)(a − b) 는 가운데 항이 없어요 — 있으면 계산 잘못
• (a + b)² ≠ a² + b² — 2ab 를 빠뜨림 (가장 흔한 실수!)
• (a − b)² 의 끝은 −b² 이 아니라 +b² — 음수의 제곱은 양수
• (a + b)(a − b) 는 가운데 항이 없어요 — 있으면 계산 잘못
3 (x + a)(x + b) 형 — 더하고 곱하기
가장 자주 나오는 모양이에요. 규칙이 아주 예뻐요:
x의 계수 = 두 수를 더한 것, 상수항 = 두 수를 곱한 것.
예: (x + 2)(x + 3) → 더하면 5, 곱하면 6 → x² + 5x + 6
예: (x + 5)(x − 2) → 더하면 3, 곱하면 −10 → x² + 3x − 10
(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab
x의 계수 = 두 수를 더한 것, 상수항 = 두 수를 곱한 것.
예: (x + 2)(x + 3) → 더하면 5, 곱하면 6 → x² + 5x + 6
예: (x + 5)(x − 2) → 더하면 3, 곱하면 −10 → x² + 3x − 10
💡 이 "더해서 ○, 곱해서 △"가 몸에 배면, 다음 단원 인수분해가 아주 편해져요. 인수분해는 이걸 거꾸로 하는 거거든요.
4 공식을 거꾸로 — 식의 값 구하기
시험에서 진짜 힘을 발휘하는 건 공식을 거꾸로 쓰는 순간이에요.
"x + y = 5, xy = 6 일 때 x² + y² 은?" — x와 y를 각각 구하려 하면 오래 걸려요.
대신 (x + y)² = x² + 2xy + y² 를 이항하면 끝나요:
x² + y² = (x + y)² − 2xy = 25 − 12 = 13. 3초면 됩니다!
x² + y² = (x + y)² − 2xy = (x − y)² + 2xy
"x + y = 5, xy = 6 일 때 x² + y² 은?" — x와 y를 각각 구하려 하면 오래 걸려요.
대신 (x + y)² = x² + 2xy + y² 를 이항하면 끝나요:
x² + y² = (x + y)² − 2xy = 25 − 12 = 13. 3초면 됩니다!
💡 자매품도 함께: (x − y)² = (x + y)² − 4xy. 합과 곱만 알면 차도 알 수 있어요. 그래서 다음 단원(이차방정식)의 근과 계수의 관계와 짝을 이뤄 엄청 자주 나와요.
5 수 계산에도 쓰기 — 암산이 빨라져요
곱셈공식은 문자에만 쓰는 게 아니에요. 숫자에 쓰면 암산이 확 빨라져요.
99 × 101 을 세로셈 하지 말고, 100 근처로 보세요: (100 − 1)(100 + 1) = 100² − 1² = 9999.
102² 도 마찬가지: (100 + 2)² = 10000 + 400 + 4 = 10404.
99 × 101 을 세로셈 하지 말고, 100 근처로 보세요: (100 − 1)(100 + 1) = 100² − 1² = 9999.
102² 도 마찬가지: (100 + 2)² = 10000 + 400 + 4 = 10404.
💡 요령은 하나예요 — 계산하기 좋은 수(100, 50, 30…)를 기준으로 삼고 ±얼마로 쪼개기. 그러면 공식이 저절로 보여요.
6 예제로 확인
예제 1 · 계수가 붙어도 똑같이
(2x + 3)² 을 전개하라.
겁먹지 말고 2x 를 통째로 a 라고 생각해요. (a + 3)² = a² + 6a + 9 이니
(2x)² + 2·(2x)·3 + 3² = 4x² + 12x + 9
겁먹지 말고 2x 를 통째로 a 라고 생각해요. (a + 3)² = a² + 6a + 9 이니
(2x)² + 2·(2x)·3 + 3² = 4x² + 12x + 9
검산: x = 1 넣으면 좌변 (2+3)² = 25, 우변 4 + 12 + 9 = 25 ✓
예제 2 · 합·차 공식
(5x − 2)(5x + 2) 를 전개하라.
모양이 (a − b)(a + b) 니 가운데는 사라져요: (5x)² − 2² = 25x² − 4
모양이 (a − b)(a + b) 니 가운데는 사라져요: (5x)² − 2² = 25x² − 4
검산: x = 1 → 좌변 3 × 7 = 21, 우변 25 − 4 = 21 ✓
예제 3 · 거꾸로 쓰기
a + b = 4, a² + b² = 10 일 때 ab 를 구하라.
(a + b)² = a² + 2ab + b² 에 아는 값을 넣어요: 16 = 10 + 2ab → 2ab = 6 → ab = 3
(a + b)² = a² + 2ab + b² 에 아는 값을 넣어요: 16 = 10 + 2ab → 2ab = 6 → ab = 3
검산: 합 4·곱 3 이면 두 수는 1과 3 → 1² + 3² = 10 ✓
7 한 줄 정리
곱셈공식 = 분배법칙의 지름길. 넓이 그림으로 보면 (a+b)² 에 2ab 가 왜 붙는지 저절로 보여요.
3형제: (a±b)² = a² ± 2ab + b², (a+b)(a−b) = a² − b². (x+a)(x+b)는 더하고·곱하고.
거꾸로 쓰기(x²+y² = (x+y)²−2xy)가 시험의 핵심이고, 숫자 계산에도 통해요.
이제 칼럼에서 넓이 조각을 직접 만져보고, 문제로 굳히세요.
3형제: (a±b)² = a² ± 2ab + b², (a+b)(a−b) = a² − b². (x+a)(x+b)는 더하고·곱하고.
거꾸로 쓰기(x²+y² = (x+y)²−2xy)가 시험의 핵심이고, 숫자 계산에도 통해요.
이제 칼럼에서 넓이 조각을 직접 만져보고, 문제로 굳히세요.
✍️ 이제 문제로 굳히기 (각 10문항 · 손검산·이중검수 완료)
「만지는 수학」 · ① 읽고 (직관수학 교재) · 중3 다항식의 곱셈