넓이가 9인 정사각형의 한 변은 얼마일까요? 3이죠. 3 × 3 = 9 니까요.
넓이가 4면 한 변은 2. 여기까진 쉬워요.
그럼 넓이가 2인 정사각형의 한 변은요? 🤔
1 × 1 = 1 이라 너무 작고, 2 × 2 = 4 라 너무 커요. 그러니 1과 2 사이 어디쯤이겠죠.
1.4 를 넣어보면 1.96, 아깝다. 1.41 은 1.9881, 더 아깝다. 1.414 는 1.999396…
아무리 촘촘히 골라도 딱 2가 안 나와요. 게다가 분수로도 절대 쓸 수 없어요.
그런데 이상하죠? 그 정사각형은 분명히 그릴 수 있고, 한 변의 길이도 분명히 존재하잖아요!
이 "분명히 있는데 딱 떨어지지 않는 수"에 이름을 붙인 게 바로 √2 — 오늘 배울 제곱근이에요.
1 제곱근의 뜻 — 제곱을 거꾸로
우리는 "3을 제곱하면 9"를 알아요. 이걸 거꾸로 물어보는 거예요.
"제곱해서 9가 되는 수는?" → 이 답을 9의 제곱근이라고 불러요.
그런데 답이 하나가 아니에요. 3² = 9 도 맞고, (−3)² = 9 도 맞으니까요.
그래서 양수의 제곱근은 항상 2개, 부호만 다른 짝이에요.
x² = a ⟺ x = +√a 또는 −√a (a > 0)
"제곱해서 9가 되는 수는?" → 이 답을 9의 제곱근이라고 불러요.
그런데 답이 하나가 아니에요. 3² = 9 도 맞고, (−3)² = 9 도 맞으니까요.
그래서 양수의 제곱근은 항상 2개, 부호만 다른 짝이에요.
💡 특별한 경우 둘: 0의 제곱근은 0 하나뿐(0² = 0). 그리고 음수는 제곱근이 없어요 — 어떤 수든 제곱하면 0 이상이라, 제곱해서 −4가 되는 수는 (우리가 아는 수 중엔) 없거든요.
2 √ 기호 — 양의 제곱근만 콕 집기
제곱근이 2개라 부를 때마다 헷갈리니, 수학자들은 양수 쪽만 가리키는 기호를 만들었어요. 그게 √ (근호) 예요.
그래서 √9 = 3 이에요. −3 이 아닙니다! √ 는 처음부터 "양의 제곱근"만 뜻하니까요.
음수 쪽을 말하고 싶으면 앞에 −를 붙여 −√9 = −3 이라 써요.
(√a)² = a / √(a²) = |a|
그래서 √9 = 3 이에요. −3 이 아닙니다! √ 는 처음부터 "양의 제곱근"만 뜻하니까요.
음수 쪽을 말하고 싶으면 앞에 −를 붙여 −√9 = −3 이라 써요.
⚠️ 자주 틀리는 곳: √(a²) 는 그냥 a 가 아니라 |a| 예요.
확인해볼까요? a = −5 라면 √((−5)²) = √25 = 5. a 자체(−5)가 아니라 절댓값 5가 나왔죠? √ 는 항상 양수를 내놓기 때문이에요.
확인해볼까요? a = −5 라면 √((−5)²) = √25 = 5. a 자체(−5)가 아니라 절댓값 5가 나왔죠? √ 는 항상 양수를 내놓기 때문이에요.
3 무리수와 실수 — 수직선의 빈틈 메우기
√2 를 소수로 써보면 1.41421356… 이렇게 끝도 없고 반복도 없이 이어져요.
게다가 √2 는 분수(정수 ÷ 정수)로 절대 나타낼 수 없다는 게 증명돼 있어요. 이런 수를 무리수라고 해요.
반대로 분수로 쓸 수 있는 수(2, −7, 0.5, 1/3 …)는 유리수 고요.
이 유리수와 무리수를 합친 것이 실수이고, 실수는 수직선을 빈틈 하나 없이 꽉 채워요.
게다가 √2 는 분수(정수 ÷ 정수)로 절대 나타낼 수 없다는 게 증명돼 있어요. 이런 수를 무리수라고 해요.
반대로 분수로 쓸 수 있는 수(2, −7, 0.5, 1/3 …)는 유리수 고요.
이 유리수와 무리수를 합친 것이 실수이고, 실수는 수직선을 빈틈 하나 없이 꽉 채워요.
📜 옛날 그리스 피타고라스학파는 "모든 수는 분수로 쓸 수 있다"고 굳게 믿었어요. 그런데 한 변이 1인 정사각형의 대각선(=√2)이 분수로 안 된다는 게 밝혀지면서 그 믿음이 무너졌죠. 지금은 무리수도 실수의 당당한 한 식구예요.
4 근호의 계산 — 곱셈은 자유, 덧셈은 같은 것끼리
곱셈·나눗셈은 근호 안끼리 그냥 합쳐도 돼요. 아주 자유롭죠.
또 근호 안에 제곱인 것이 숨어 있으면 밖으로 꺼낼 수 있어요. √12 는 12 = 2²×3 이니 2√3 이 돼요.
√a · √b = √(ab) / √a ÷ √b = √(a/b) / √(a²b) = a√b
또 근호 안에 제곱인 것이 숨어 있으면 밖으로 꺼낼 수 있어요. √12 는 12 = 2²×3 이니 2√3 이 돼요.
⚠️ 그런데 덧셈·뺄셈은 자유롭지 않아요. √2 + √3 은 √5 가 절대 아닙니다!
덧셈은 같은 근호끼리만 가능해요. √3 을 문자 x 라고 생각하면 쉬워요:
2√3 + √3 = 2x + x = 3x = 3√3 ✓ / √2 + √3 = x + y → 더 이상 안 합쳐짐 ✓
덧셈은 같은 근호끼리만 가능해요. √3 을 문자 x 라고 생각하면 쉬워요:
2√3 + √3 = 2x + x = 3x = 3√3 ✓ / √2 + √3 = x + y → 더 이상 안 합쳐짐 ✓
5 분모의 유리화 — 근호를 아래에서 위로
1/√2 처럼 분모에 근호가 있으면 값이 얼마쯤인지 가늠하기 어려워요.
이때 분모·분자에 똑같은 √2 를 곱하면 (같은 수를 위아래 곱하니 값은 그대로!) 분모가 깔끔한 정수가 돼요.
1/√2 = √2/2 ≈ 1.414 ÷ 2 ≈ 0.707 — 이제 크기가 딱 보이죠?
1/√a = √a / a / 1/(√a − √b) = (√a + √b) / (a − b)
이때 분모·분자에 똑같은 √2 를 곱하면 (같은 수를 위아래 곱하니 값은 그대로!) 분모가 깔끔한 정수가 돼요.
1/√2 = √2/2 ≈ 1.414 ÷ 2 ≈ 0.707 — 이제 크기가 딱 보이죠?
💡 분모가 √3 − √2 처럼 두 항이면, 부호만 바꾼 √3 + √2(켤레)를 곱해요. 그러면 합·차 공식으로 근호가 싹 사라져요: (√3−√2)(√3+√2) = 3 − 2 = 1.
6 예제로 확인
예제 1 · 근호 밖으로 빼내기
√12 를 a√b 꼴로 나타내라.
12 안에서 제곱인 것을 찾아요: 12 = 4 × 3 = 2² × 3.
√(2²·3) = 2√3
12 안에서 제곱인 것을 찾아요: 12 = 4 × 3 = 2² × 3.
√(2²·3) = 2√3
검산: (2√3)² = 4 × 3 = 12 ✓
예제 2 · 합·차 공식으로 근호 없애기
(2 + √3)(2 − √3) 의 값을 구하라.
(a+b)(a−b) = a² − b² 을 그대로 적용: 2² − (√3)² = 4 − 3 = 1
(a+b)(a−b) = a² − b² 을 그대로 적용: 2² − (√3)² = 4 − 3 = 1
근호가 있는 식끼리 곱했는데 답은 깔끔한 정수! 이게 켤레의 힘이에요 ✓
예제 3 · 정수 부분과 소수 부분
√5 의 정수 부분과 소수 부분을 구하라.
이웃한 제곱수로 가둬요: 2² = 4 < 5 < 9 = 3² 이므로 2 < √5 < 3.
→ 정수 부분 = 2, 소수 부분 = (그 수) − (정수 부분) = √5 − 2
이웃한 제곱수로 가둬요: 2² = 4 < 5 < 9 = 3² 이므로 2 < √5 < 3.
→ 정수 부분 = 2, 소수 부분 = (그 수) − (정수 부분) = √5 − 2
검산: √5 ≈ 2.236 → 정수부 2, 소수부 0.236 ≈ √5 − 2 ✓
7 한 줄 정리
제곱근 = 제곱을 거꾸로. 양수의 제곱근은 ±로 두 개, √ 는 그중 양수만. √(a²) = |a| 주의.
곱셈·나눗셈은 자유, 덧셈은 같은 근호끼리만(√2+√3 ≠ √5). 분모에 근호가 있으면 유리화.
이제 칼럼에서 손으로 만져 느껴보고, 문제로 굳히세요.
곱셈·나눗셈은 자유, 덧셈은 같은 근호끼리만(√2+√3 ≠ √5). 분모에 근호가 있으면 유리화.
이제 칼럼에서 손으로 만져 느껴보고, 문제로 굳히세요.
✍️ 이제 문제로 굳히기 (각 10문항 · 손검산·이중검수 완료)
「만지는 수학」 · ① 읽고 (직관수학 교재) · 중3 제곱근과 실수